Potenciação e raízes quadradas de racionais

Oi filha,

Agora vamos conversar sobre potenciação de números racionais. E fazer alguns exercícios pois ninguém é de ferro…


Potenciação

Como sabemos, a potenciação sugiu como uma ferramenta de muita utilidade na representação de uma multiplicação de fatores iguais. Saber as técnicas de potenciação é indispensável no estudo da Matemática básica. Além disso, as potências são aplicadas em outras ciências como Química, Física, Engenharia, Biologia, Economia, Matemática Financeira entre outras.

Apenas para recordar, potenciação do número natural 2:

  • 2 ^ 1 = 2
  • 2 ^ 2 = 2 \times 2
  • 2 ^ 3 = 2 \times 2 \times 2
  • 2 ^ 4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2
  • 2 ^ 5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2

Potenciação de racionais

Na potenciação do número racional \frac{n}{d} devemos aplicar o expoente aos dois elementos da fração, o numerador n e o denominador d.

Exemplos:

  • (\frac{2}{3}) ^ 1 = \frac{2^1}{3^1} = \frac{2}{3}
  • (\frac{2}{3}) ^ 2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{2 \times 2}{3 \times 3}
  • (\frac{2}{3}) ^ 3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3}
  • (\frac{2}{3}) ^ 4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3 \times 3}
  • (\frac{2}{3}) ^ 5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}

Exercícios

Nossa querida Matemática somente é aprendida, de fato, por meio de exercícios. Vamos a eles, portanto!

Calcule os valores seguintes:

  • (\frac{2}{3}) ^ 2 =
  • (\frac{3}{5}) ^ 3 =
  • (\frac{7}{4}) ^ 2 =
  • (\frac{3}{2}) ^ 4 =
  • (\frac{1}{10}) ^ 4 =
  • (\frac{8}{9}) ^ 2 =
  • (\frac{7}{9}) ^ 4 =
  • (\frac{2}{3}) ^ 5 =
  • (\frac{6}{11}) ^ 2 =
  • (\frac{8}{9}) ^ 3 =

Raiz quadradas

Podemos dizer que a raiz quadrada de um número é a operação inversa da potenciação, pois:

a \times a = a ^ 2 \Leftrightarrow \sqrt{a^2} = a

Assim, para encontrarmos a raiz de um número, basta descobrirmos um outro número que, multiplicado por si mesmo, resulta no número da raiz. Exemplos:

  • \sqrt{1} = 1, pois 1^2 = 1
  • \sqrt{4} = 2, pois 2^2 = 4
  • \sqrt{9} = 3, pois 3^2 = 9
  • \sqrt{16} = 4, pois 4^2 = 16
  • \sqrt{25} = 5, pois 5^2 = 25
  • \sqrt{36} = 6, pois 6^2 = 36
  • \sqrt{49} = 7, pois 7^2 = 49
  • \sqrt{64} = 8, pois 8^2 = 64
  • \sqrt{81} = 9, pois 9^2 = 81
  • \sqrt{100} = 10, pois 10^2 = 100

Raízes quadradas de racionais

As raízes mostradas na seção acima envolvem somente números inteiros positivos, mas também podemos calculá-las para números racionais positivos.

Quando lidamos com um número racional \frac{n}{d}, devemos calcular, separadamente, a raiz do numerador n e do denominador d.

Quando lidamos com a raiz quadrada de um número decimal, devemos transformá-lo antes para a forma fracionária, como já vimos neste post. Depois calculamos a raiz quadrada

Exemplos:

  • \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}
  • \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}} = \frac{9}{3}
  • \sqrt{\frac{64}{36}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{36}} = \frac{8}{3}
  • \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}} = \frac{5}{7}
  • \sqrt{\frac{16}{64}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{64}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

Exercícios

Aplique seus conhecimentos resolvendo os seguintes exercícios:

  • \sqrt{\frac{25}{64}} =
  • \sqrt{\frac{36}{81}} =
  • \sqrt{\frac{49}{16}} =
  • \sqrt{\frac{4}{9}} =
  • \sqrt{\frac{64}{100}} =
  • \sqrt{\frac{1}{10000}} =
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