Conjuntos numéricos

Oi filha querida,

Você ainda vai estudar muito os conjuntos numéricos, durante sua vida acadêmica. Com certeza você vai voltar a este tema durante o Ensino Médio. Então é bom você ir se acostumando…

Como você gosta de Matemática, vou deixar o tema um pouco mais formal, mais com a cara do Ensino Médio. Não se preocupe, no fundo é a mesma coisa, apenas com uma linguagem simbólica mais sofisticada (e linda).


Números Naturais

Foi o primeiro conjunto de números a surgir. O nome vem do fato desses números terem surgido “naturalmente”, seja para contar as coisas, seja para colocar as coisas numa determinada ordem.

É o conjunto numérico mais simples, a partir do qual os demais foram sendo construídos.

O conjunto dos naturais é denotado pela letra \mathbb{N} e corresponde aos números:

\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ... \}

Com os naturais podemos ter as quatro operações, mas com algumas limitações. Por exemplo, a seguinte operação entre dois números naturais:

5 - 7 = ?

Não produz um número natural. Por essa razão, o conjunto dos naturais foi ampliado para conter mais números.


Sobre o zero ser natural

Uma pequena observação: até bem recentemente havia uma certa confusão sobre se o zero fazia parte ou não dos naturais.

A coisa foi apenas resolvida em 2009, quando foi padronizado que o zero faz parte dos naturais.

Mas ainda há livros que não listam o zero como natural. O motivo é que, originalmente, não era “natural” para os antigos contarem

zero vaca ou zero carneiro.


Números Inteiros

Vimos que os naturais têm aquela limitação com a subtração, que pode resultar num número que não é natural. Esse problema foi resolvido com os números inteiros, denotado pela letra \mathbb{Z} e correspondendo aos números:

\mathbb{Z} = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \}

É evidente que o \mathbb{Z} contém todos os números contidos em \mathbb{N} e mais outros. Isso, em Matemática, se indica com a expressão \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} (os naturais são um subconjunto dos inteiros).

A letra \mathbb{Z} vem de zahlen, palavra alemã que significa números.

Com os inteiros, o problema da subtração existente com os naturais foi plenamente resolvido, mas… Ainda havia uma limitação importante: a divisão podia resultar num número que não era inteiro:

7 \div 5 = ?

Não produz um número inteiro. Por essa razão, o conjunto dos inteiros foi ampliado para conter mais números.


Números Racionais

Os números racionais foi a solução para a limitação dos inteiros na operação de divisão entre inteiros. O conjunto dos números racionais denotado pela letra \mathbb{Q} e correspondendo aos números que satisfazem à seguinte expressão (linda, perfeita e matemática):

\mathbb{Q} = \{ x \colon x = \frac{a}{b}; a \in \mathbb{Z},  b \in \mathbb{Z^*}\}

Que quer dizer: o conjunto dos racionais é formado pelos números que admitem a forma fracionária, com numerador e denominador inteiros, tomando o cuidado do denominador não ser zero.

O símbolo \mathbb{Z^*} indica o conjunto dos inteiros sem o zero.

Observe que:

7 = \frac{7}{1}

Portanto, todo número inteiro também pode ser escrito na forma fracionária. Daí ser evidente que \mathbb{Q} contém todos os números contidos em \mathbb{Z} e mais outros. Assim expressão \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} (os inteiros são um subconjunto dos racionais).

Na prática, todo número que puder ser escrito na forma fracionária é um número racional: frações positivas e negativas; números inteiros; dízimas periódicas…

A letra \mathbb{Q} vem de quoziente, palavra italiana que significa quociente.


Números Irracionais

Com os racionais houve um belo progresso, as quatro operações sempre produziam números racionais, mas os matemáticos descobriram algumas limitações no conjunto dos racionais…

Havia determinados números, vários, para os quais não se encontrava uma representação racional.

Um deles é o número \pi . Havia também certas raízes quadradas para as quais não se encontrava um número racional correspondente (\sqrt 3 ).

Os matemáticos chamaram esses números, que não admitem representação fracionária, de números irracionais.

triang
Pelo Teorema de Pitágoras, o segmento AB é um número que, multiplicado por ele mesmo, é três.

É possivel demonstrar matematicamente (coisa linda) que \sqrt 3 é irracional.


Números Reais

Os conjunto dos racionais foi então expandido para incluir os números irracionais, resultando no conjunto dos números reais.

O conjunto dos números reais é formado por todos os números com representação decimal (isto é, as decimais exatas ou as periódicas – os racionais) e as decimais não exatas e não periódicas (os números irracionais).

O símbolo \mathbb{R} indica o conjunto dos números reais.


Reta real

Uma forma bastante comum de representação de \mathbb{R} é com a reta real.

É uma reta infinita que, para a esquerda cresce em direção a números negativos cada vez menores, e para a direita cresce em direção a números positivos cada vez maiores. Nela podemos posicionar os números reais, indicando quais são menores e maiores.

Number_line_with_x_smaller_than_y
Reta real, quem está à direita é maior do que quem está à esquerda (x < Y).
num_real_line-yellow-examples
Exemplo de localização dos números reais sobre a reta real.

A reta real vai ser muito útil no futuro, para a resolução de sistemas de inequações de primeiro grau.


Curiosidade

A relação entre os diversos conjuntos numéricos que estudamos pode ser representada pela figura a seguir, chamada de diagrama de Venn.

640px-Number-systems.svg
O conjunto dos naturais é contido pelo conjunto dos inteiros que é contido pelo conjunto dos racionais que é contido pelo conjunto dos reais…

Beijo do pai!

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