Potências e raízes

Oi filha querida,

Agora veremos potências e raízes. No futuro, você aprenderá que potências e raízes são duas formas de se apresentar uma mesma coisa. Por hora, vamos aprender separadamente.


Potência

Você pode recordar aqui o que já estudamos sobre potências.

Podemos dizer que potência é uma operação definida da seguinte forma:

De modo geral, para n natural, tal que n \ge 2 a^n é um produto de n fatores iguais a.

Exemplos:

a^3 = a \cdot a \cdot a
2^2 = 2 \cdot 2
3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3


Propriedades das potências

As potências possuem uma série de propriedades, muito simples:

PROPRIEDADE EXEMPLO
a^m \cdot a^n = a^{m+n} 2^5 \cdot 2^4 = 2^{5+4}
\frac{a^m} {a^n} = a^{m-n} \frac{2^5} {2^4} = 2^{5-4}
(a \cdot b )^n = a^n \cdot b^n (2 \cdot 3 )^4 = 2^4 \cdot 3^4
(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} (\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4}
(a^m)^n = a^{m \cdot n} (2^5)^4 = 2^{5 \cdot 4}

Teorema Fundamental da Aritmética

Dizemos que um número está fatorado quando ele é representado pelo produto de outros números.

A fatoração em primos é a representação de um número apenas pelo produto de números primos.

Obtemos a fatoração em primos da seguinte forma:

 \begin{tabular}{ l | c } 76 & 2 \\ 38 & 2 \\ 19 & 19 \\ 1 & \\ \end{tabular}
76 = 2 \cdot 2 \cdot 19 = 2^2 \cdot 19

 \begin{tabular}{ l | c } 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 &  \\ \end{tabular}
36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2

Teorema Fundamental da Aritmética (TFA): exceto pela ordem dos fatores, todo número inteiro, diferente de 0 e de 1,  pode ser fatorado em um e apenas um produto de primos.

Esse treco é importante, guarde isso no coração.


Raiz quadrada exata de um numero natural

Para recordar o que estumaos sobre raízes quadradas, veja aqui.

Uma das muitas aplicações do maravilhos TFA é na obtenção da raiz quadrada exata de um numero natural. Basta seguir os passos:

  1. Fatore em primos o número natural do qual se deseja obter em raiz quadrada.
  2. Observe os expoentes dos fatores.
  3. Se os expoentes forem todos pares, a raiz do numero fatorado é igual ao produto de primos, mas com todos os expoentes divididos pela metade.

Exemplos:

 \begin{tabular}{ l | c } 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 &  \\ \end{tabular}
36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2
\sqrt {2^2 \cdot 3^2} = 2^1 \cdot 3^1 = 6

 \begin{tabular}{ l | c } 144 & 2 \\ 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 &  \\ \end{tabular}
144 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^2
\sqrt {2^4 \cdot 3^2} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12


Beijo do pai!

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