Polinômios e operações com polinômios

Oi filha querida,

Vamos conversar agora sobre polinômios. Como o nome ja diz, polinômios são expressões algébricas compostas por dois ou mais monômios ligados por operações aritméticas.

Exemplos:

2x^2 + 7x - 6
10x^3 + x^2 - 9x
6x + 5
120x^2 - 10x + 9
14x^4 + 7x^3 - 20x^2 - 60x - 100

Assim, um polinômio é uma expressão algébrica formada por monômios e operações aritméticas, sendo essas operações: soma, subtração, divisão, multiplicação e potenciação.

Mais exemplos de polinômios:

5 = 5x^0
2xy
3xy + \frac{4x}{2x}
((2x + 6x)^2 - 5) + 3y - x


Adição e subtração de polinômios

Para somar ou subtrair polinômios devemos trabalhar com os termos semelhantes, sempre respeitando as regras de sinais envolvidas.

Exemplos:

(x^2 - 3x - 1) + (-3x^2 + 8x - 6)
x^2 - 3x - 1 - 3x^2 + 8x - 1 - 6
x^2 - 3x^2 - 3x + 8x - 1 - 6)
-2x^2 + 5x - 7

(4x^2 - 10x - 5) + (6x + 12)
4x^2 - 10x - 5 + 6x + 12
4x^2 - 10x + 6x - 5 + 12
4x^2 - 4x + 7

(5x^2 - 9x - 8) - (-3x^2 + 10x - 6)
5x^2 - 9x - 8 + 3x^2 - 10x + 6
5x^2 + 3x^2- 9x - 10x - 8 + 6
8x^2 - 19x  - 2

(2x^3 - 5x^2 - x + 21) - (2x^3 + x^2 - 2x + 5)
2x^3 - 5x^2 - x + 21 - 2x^3 - x^2 + 2x - 5)
2x^3 - 2x^3 - 5x^2 - x^2- x + 2x + 21 - 5
0x^3 - 6x^2 + x + 16


Multiplicação de polinômios

Podemos fazer três tipos de multiplicação de polinômios:

  • Número natural com polinômio;
  • Monômio com polinômio;
  • Polinômio com polinômio.

Para tanto, usamos as propriedades da multiplicação e as de potências. Especialmente a propriedade distributiva e a seguinte de potências:

Propriedade da base igual e expoente diferente: a^n \cdot a^m = a^{n + m}

Multiplicação por número natural

3 \cdot (2x^2 + x + 5)
3 \cdot 2x^2 + 3 \cdot x + 3 \cdot 5
6x^2 + 3x + 15

Multiplicação por monômio

3x \cdot (5x^2 + 3x - 1)
3x \cdot 5x^2 + 3x \cdot 3x + 3x \cdot (-1)
15x^3 + 9x^2 - 3x

(-2x^2) \cdot (5x - 1)
-2x^2 \cdot 5x - 2x^2 . (-1)
-10x^3 + 2x^2

Multiplicação de polinômio por polinômio

(3x - 1) \cdot (5x^2 + 2)
3x \cdot 5x^2 + 3x \cdot 2 - 1 \cdot 5x^2 - 1 \cdot 2
15x^3 -5x^2 + 6x - 2

(2x^2 + x + 1) \cdot (5x - 2)
2x^2 \cdot 5x + 2x^2 \cdot (-2) + x \cdot 5x + x \cdot (-2) + 1 \cdot 5x + 1 \cdot (-2)
10x^3 - 4x^2 + 5x^2 - 2x + 5x - 2
10x^3+ x^2 + 3x - 2


Divisão de polinômios

Podemos fazer três tipos de divisão de polinômios:

  • Polinômio por um número natural;
  • Polinômio por um monômio;
  • Polinômio por um polinômio.

Vamos aprender apenas as duas primeiras divisões.

Assim como com a multiplicação de polinômios, vamos usar as proriedades da multiplicação e as de potências.

Divisão por número natural

Apenas se divide os coeficientes:
\frac{9x^2 + 15x + 6}{3}
\frac{9x^2}{3} + \frac{15x}{3} + \frac{6}{3}
3x^2 + 5x + 3

Divisão por monômio

Apenas se divide coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal:
\frac{6x^3}{3x}
\frac{6}{3} \cdot  \frac{x^3}{x}
2x^2

\frac{10a^3b^3 + 8ab^2}{2ab^2} = \frac{10a^3b^3}{2ab^2} + \frac{8ab^2}{2ab^2}
A divisão de um polinômio por monômio foi transformada em duas divisões de monômio por monômio:
5a^{3-1}b^{3-2} + 4a^{1-1}b^{2-2}
5a^2b + 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5a^2b + 4


Exercícios

Pratique seus conhecimentos com os exercícios seguintes.

  1. (6x^3 + 5x^2 - 8x + 15) + (x^3 + 7x^2 + 9x + 20)
  2. (2x^3 - 6x^2 - 9x + 10) - 2(x^3 - 3x^2 + 4x + 5)
  3. (- 6x^2 - 3x) + (x^3 + 12x^2 + 4x + 8)
  4. (4x^3 + 3x^2 + 25) - (2x^3 - 2x + 14) + (13x^2 - 19x + 23)
  5. (6x^3) \cdot (x^3 + 3x^2 + 9x + 2)
  6. (2x^3 - 6x^2) - 2(2x^3 - x^2 + 5x + 1)
  7. (- 3x) \cdot (4x^4 + 5x^2 + 5x)
  8. (3x^2 - 2x) - (5x^3 - 2x^2 - 3x + 5)
  9. \frac {12x^3y^4 + 16x^2y^2}{4xy}
  10. \frac {3x^5y^6 - 12x^4y^3 - 33xy^2}{3xy^2}
  11. \frac {4x^2y^2 - 2x^3y^3 + 16x^4y^2}{4x^2y^2}
  12. \frac {9x^2y^3 - 6x^3y^2 -xy}{3x^2y}
  13. Calcule as áreas e os perímetros dos quatro polinômios a seguir:
    poli1Poli2

Beijo do pai!

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