Equações de 2º grau

Olá filha,

Agora vamos ver as famosas equações de segundo grau, algo que vai fazer parte da sua realidade de estudo, por pelo menos mais uns quatro anos. Assim, é importante aprender bem este tema!


O que é uma equação do 2º grau?

Chamamos de equação de 2º grau na incógnita x, ou mais simplesmente, equação do 2º grau, a toda equação polinomial de uma incógnita x, cujo termo de maior grau está elevado ao quadrado. Também é chamada de equação quadrática.

De uma forma genérica, a equação de segundo grau é representa por:

ax^2 + bx + c = 0

Onde

  • x é a incógnita e representa um valor desconhecido.
  • As letras a, b, c são chamados de coeficientes da equação.
  • a, b, c devem ser números reais (a, b, c \in \mathbb{R}).
  • a deve ser diferente de zero.
  • c também é chamado de termo independente.

Quando uma equação do 2º grau na incógnita está escrita na forma: ax^2 + bx + c = 0, dizemos que ela está representada na sua forma canônica, também chamada forma normal ou forma reduzida.

Exemplos:

Em 7z^2 + 3z - 3 = 0, temos:

  • z é a incógnita
  • a = 7
  • b = 3
  • c = -3

Em 4y^2 - 5 = 0, temos:

  • y é a incógnita
  • a = 4
  • b = 0
  • c = -5

Exercícios

  1. Numa equação de segundo grau ax^2 + bx + c = 0,
    o que acontece se a = 0?
  2. (x - 2) \cdot x - 6x^2 - 3 - (-5 \cdot x^2 + 4x) = 0
    é uma equação quadrática em x?

Equações de 2º grau completas e incompletas

As equações do 2º grau completas são as que apresentam todos os coeficientes, isto é, todos os coeficientes são diferentes de zero (a, b, c \neq 0). Uma equação quadrática é dita incompleta quando ao menos um dos coeficientes b ou c é igual a zero (isto é, b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0).

Exemplos:

  • 5x^2 + 2x + 2 = 0 é equação completa, pois a = 5, b = 2, c = 2.
  • 2x^2 = 0 é equação incompleta, pois a = 2, b = 0, c = 0.
  • x^2 - 9x + 20 = 0 é equação completa, pois a = 1, b = -9, c = 20.
  • -x^2 - 16 = 0 é equação incompleta, pois a = -1, b = 0, c = -16.

Raízes de uma equação de segundo grau

Uma equação é uma expressão que relaciona números conhecidos (coeficientes) a números desconhecidos (incógnitas), por meio de uma igualdade.

Resolver uma equação é usar as propriedades dessa igualdade para descobrir o valor numérico das incógnitas. Como elas são representadas pela letra x, podemos dizer que resolver uma equação é encontrar os valores que x pode assumir, fazendo com que a igualdade seja verdadeira.

O conjunto dos valores que x pode assumir de forma a tornar verdadeira a igualdade ax^2 + bx + c = 0 é chamado de conjunto-solução da equação de 2º grau em x. Estes valores fazem parte do conjunto-solução da equação são denominados raízes da equação de 2º grau.

Vale observar que uma equação quadrática possui no máximo duas raízes reais (isto é duas raízes que pertencem a \mathbb{R}, o conjunto dos números reais).

Exemplo:

Considerando a equação x^2 - 5x + 6 = 0

Fazendo x = 2 obtemos: 2^2 - 5 .\cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0, então 2 é uma das raízes da equação.

Fazendo x = 3 obtemos: 3^2 - 5 \cdot 3+ 6 = 9 - 15 + 6 = 0, então 3 é outra das raízes da equação.


Resolução de equação de 2º grau incompleta

Podemos usar a seguinte sequência de passos para a resolução de uma equação de segundo grau incompleta:

  1. Deixar a equação na forma reduzida.
  2. Se o coeficiente b = 0, a equação terá a forma ax^2 + c = 0 sua solução será x = \pm \sqrt{\frac{-c}{a}}.
  3. Se o coeficiente c = 0, a equação terá a forma ax^2 + bx = 0, assim, x (ax + b) = 0, implicando que x = 0 ou x = -\frac{b}{a}.
  4. Se os coeficientes b = c = 0, a equação terá a forma ax^2 = 0, assim, apenas x = 0 é raiz da equação.

Esquecendo, por um instante, vamos pensar um pouco… Quando a equação de segundo grau for incompleta, sua resolução é bem simples: ou apenas isolamos o x e tiramos a raiz quadrada; ou fatoramos a expressão em x , sendo uma raiz sempre zero e a outra uma fração simples; ou equação tem apenas 0 como raiz.

Exemplos:

  • 4x^2 = 0
    x^2 = \frac{0}{4}
    x = \sqrt{0}
    x = 0
  • x^2 - 36 = 0
    x^2 = 36
    x = \sqrt{36}
    x = 6 ou x = -6
  • x^2 - 10x = 0
    x(x - 10) = 0
    x = 0 ou x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10

Resolução de equação de 2º grau completa

Para este tipo de equação, podemos usar a seguinte sequência de passos:

  1. Deixar a equação na forma reduzida.
  2. Usar a fórmula de Bhaskara e calcular o discriminante \Delta = b^2 - 4ac.
  3. Se o discriminante for positivo ou nulo, continuar usando a fórmula de Bhaskara e obter as raizes x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} e x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.
  4. Se o discriminante for negativo, dizemos que a equação não apresenta raízes em \mathbb{R} (e o conjunto-solução é \varnothing).

A fórmula de Bhaskara é um santo remédio para equações de 2º grau e é daquelas que merecem ser memorizadas. Além disso, durante a resolução das equações de segundo grau, é preciso ter muito cuidado com os sinais: um pequeno descuido e teremos resolvido erradamente.

Exemplos:

  • 6x^2 - x - 1 = 0
    \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 - (-24) = 1 + 24 = 25
    x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{\Delta = 25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{1}{2}
    x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{\Delta = 25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = - \frac{1}{3}
  • 7x^2 - x = 0
    \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 0 = 1 - 0 = 1
    x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{1}}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}
    x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{1}}{2 \cdot 7} = \frac{0}{14} = 0

Particularidades do discriminante \Delta

O discriminante oferece importantes informações a respeito do número de raízes da equação de 2º grau:

  • \Delta > 0 : quando o valor do discriminante é maior que zero, a equação apresenta duas raízes reais diferentes.
  • \Delta = 0 : quando o discriminante é igual à zero a equação de 2º grau apresenta duas raízes reais iguais (também chamada raiz dupla).
  • \Delta < 0 : quando o discriminante é menor que zero, não existem raízes reais (isto é, em \mathbb{R}).

Exercício

A partir dos discriminantes, diga o número de raízes para cada uma das equações a seguir

  • x^2 + 5x + 7 = 0
  • x^2 + 3x - 4 = 0

Fórmula de Bhaskara

De onde veio a fórmula de Bhaskara? As origens precisas, de fato, não sabemos, mas certamente não foi Bhaskara Akaria, um matemático indiano nascido em 1114, quem a primeiro descobriu. De fato, há registros do emprego dessa fórmula, desde os tempos babilônicos, cerca de 4.000 anos antes do nascimento de Bhaskara.

Entretanto, nos anos sessenta, no Brasil, se começou a associar a fórmula resolutiva da equação de segundo grau ao nome de Bhaskara e é comum dizer que a fórmula resolutiva se chama fórmula de Bhaskara.

Apenas por uma questão de tradição, mantemos essa prática.

Como sabemos que a fórmula de Bhaskara está correta? Por meio de uma demonstração matemática, o que fazemos logo abaixo:

Começamos com ax^2 + bx + c = 0

Como a \ne 0, podemos fazer x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

Que é equivalente a x^2 + \frac{b}{a}x = - \frac{c}{a}

Somando \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 aos dois lados da equação, obtemos x^2 + \frac{b}{a}x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 = - \frac{c}{a} + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2

Que é equivalente a \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2 = - \frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}

Que é equivalente a \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

Extraindo a raiz, obtemos x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Resultando na fórmula de solução da equação quadrática: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}


Exercícios sobre equações de segundo grau

Segue aqui uma lista completa de exercícios sobre equações de segundo grau. Tem exercícios resolvidos e é bastante variada. Estudando os resolvidos e fazendo os exercícios, com certeza você se dará bem na prova.

Beijo do pai!

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